Bonsoir, aidez moi s'il vous plaît. Je ne comprends pas. Merci à ceux qui essaie! ​

Bonjour,

Soit la fonction [tex]f[/tex] définie par [tex]f(x)=\frac{3x-2}{x-1}[/tex].

1) La fonction [tex]f[/tex] est définie :

SSI [tex]x-1\neq 0[/tex]

SSI [tex]x\neq 1[/tex]

D'où [tex]D_{f}[/tex] = ]-∞ ; 1[ U ]1 ; +∞[

2) La fonction [tex]f[/tex] est de la forme [tex]\frac{u}{v}[/tex] avec [tex]u=3x-2[/tex] et [tex]v=x-1[/tex].

Ainsi, la fonction dérivée de [tex]f[/tex] est de la forme [tex]\frac{u'v-uv'}{v^{2}}[/tex].

C'est-à-dire :

[tex]f'(x)=\frac{(3x-2)'(x-1)-(3x-2)(x-1)'}{(x-1)^{2}} \\\\f'(x)=\frac{3(x-1)-(3x-2)\times 1}{(x-1)^{2}} \\\\f'(x)=\frac{3x-3-3x+2}{(x-1)^{2}} \\\\f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^{2}}[/tex]

3) Etudions le signe de la dérivée [tex]f'(x)[/tex] :

Le numérateur est négatif car -1 < 0.

Le dénominateur est un carré, donc [tex](x-1)^{2}[/tex] > 0.

Ainsi, [tex]f'(x)<0[/tex] ∀ [tex]x[/tex] ∈ [tex]D_{f}[/tex].

Tableau de variations de la fonction [tex]f[/tex] :

Valeurs de [tex]x[/tex]    -∞                                              -1                                       +∞

Signe de [tex]f'(x)[/tex]                          -                        ║                      -

Variations de [tex]f[/tex]                     [tex]$\searrow[/tex]                         ║                     [tex]$\searrow[/tex]

En espérant t'avoir aidé.