bonsoir, je doit rendre ce DM à la rentrée et je n'y comprends rien. Aidez moi s'il vous plaît ​

Réponse :

Bonjour, le travail est mâché il suffit de suivre les consignes.

Explications étape par étape :

On a la parabole   (P) d'équation f(x)=1-x².

Sur repère orthonormé (O; i; j) unité de longueur 2cm (pour avoir une représentation correcte) trace (P) sur l'intervalle [0; 1].

la dérivée de f(x) est f'(x)=-2x

1) Cas particulier l'équation de la tangente (T) au point d'abscisse x=1/2 est donnée par la formule y=f'(1/2)(x-1/2)+f(1/2)=-1(x-1/2)+3/4=-x+5/4

y=-x+5/4  trace cette tangente et place les points A et B.

2) Cas général soit le point M appartenant à (P) de coordonnée(a; f(a)); j'ai remplacé x0 par "a" et y0 par f(a) ceci pour faciliter l'écriture.

l'équation de (T) devient y=f'(a)(x-a)+f(a)

soit y=-2a(x-a)+(1-a²)=-2ax+a²+1  (réponse donnée dans l'énoncé)

3) Le triangle AOB est rectangle en O, son aire est  A=OA*OB/2

OA est la solution de y=0 soit OA=(a²+1)/2a

OB est l'ordonnée à l'origine de (T) soit OB=a²+1

Aire AOB=(a²+1)²/4a    (réponse donnée dans l'énoncé).

4) Cette aire est une fonction de l'abscisse "a" du point M sur l'intervalle

]0; 1]

Pour la suite on remplace "a" par "x" et l'aire par A(x) (j'ai déjà utilisé f(x)=1-x²)

Etude de A(x)=(x²+1)²/4x sur ]0;1]

limites aux bornes

si x tend vers0     A(x)tend vers +oo

si x=1 A(x)=2²/4=1

Dérivée A'(x)=[2(2x)(x²+1)4x-4(x²+1)²]/16x²=[4(x²+1)(4x²-(x²+1)]/16x²

A'(x)=[(x²+1)(3x²-1)]/4x²   réponse donnée dans l'énoncé.

On note que cette dérivée est du signe de 3x²-1 les autres facteurs étant>0

A'(x)=0 pour x=1/V3   sur ]0;1]

Tableau de signes de A'(x) et de variations de A(x)

x      0                                1/V3                              1

A'(x)             -                       0               +

A(x)  +oo     décroît           A(1/V3)       croît            1

A(1/V3)=   ................je te laisse ce calcul et donne la valeur exacte en u.a.