bonjour, je ne comprends pas cette exercice, si quelqu’un pourrait m’aider ce serait génial Exercice 3 : On considère la fonction f définie sur ]1/2 ;3] par f(x
Question
Exercice 3 : On considère la fonction f définie sur ]1/2 ;3]
par f(x)= ln(2x - 1) – x+1
2. Calculer f (1)
3. Calculer f '(x) et étudier le signe de f '(x).
4. Construire le tableau de variation de f
5. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions a et b dans ]1/2; 3]
1 Réponse
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1. Réponse HananeC
f(x)= ln(2x - 1) – x+1
2. f(1)= ln(2-1)-1+1=ln(1)=0
3. f'(x)= 2/(2x-1) -1= (-2x+3)/(2x-1 )
Le signe de f'(x) est celui de -2x+3
Donc f'(x)>0 sur ]1/2, 3/2[ et
f'(x)<0 sur]3/2, 3]
4. f est strictement croissante sur
]1/2, 3/2[ et f est strictement decroissante sur ]3/2, 3]
5. • sur ]1/2, 3/2[
La fonction f est continue est strictement croissante
lim f(x)= - inf (lorsque x--->1/2)
et f(3/2)= ln(2)-1/2 >0
On a 0∈]-inf , f(3/2)]
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=0 admet une solution unique a sur ]1/2, 3/2[
• sur ]3/2 ,3]
f est continue et strictement decroissante
f(3/2)=ln(2)-1/2 >0 et f(3)=ln(5)-2 <0
On 0∈]f(3/2) ,f(3)]
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=0 admet une solution unique b sur ]3/2 ,3]
Finalement, l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions a et b dans
]1/2; 3]