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Question

Bonjour,
Soit (Un) la suite définie par Uo = 1 et, pour tout n appartenant à N, Un+1 = ln (1+Un)

1. Démontrer que (Un) est décroissante et minorée.

2. En déduire que la suite (Un) est convergente.

3. Déterminer sa limite. On pourra étudier le sens de variation de la fonction H définie sur [0;+inf[ par H(x) = x - ln (x+1)

Merci d’avance
Bonjour, Soit (Un) la suite définie par Uo = 1 et, pour tout n appartenant à N, Un+1 = ln (1+Un) 1. Démontrer que (Un) est décroissante et minorée. 2. En déduir

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1 Réponse

  • Réponse :

    Explications étape par étape :

    ■ Uo = 1 ; U1 = Ln2 = 0,7 ; U2 = Ln1,7 = 0,53 ;

      U3 = Ln1,53 = 0,425 ; U4 = Ln1,425 = 0,354 ; ...

    ■ Un+2 - Un+1 = Ln(1 + Un+1)  - Ln(1 + Un)

                            = Ln[ (1 + Ln(1+Un))/(1+Un) ]

       majorons Un par 1 :

       Un+2 - Un+1 = Ln[ (1 + Ln2)/2 ] = Ln[ 1,7/2 ]

                            = Ln0,85 = -0,16 négatif

       donc la suite est bien décroissante !

       Ln(1 + positif) > 0

       on peut minorer cette suite par 0 .

    ■ une telle suite décroissante et minorée est convergente .

    ■ recherche de sa Limite :

           L = Ln(1+L)

       e^L = 1 + L

           L = 0 .

        Lim H(x) pour x tendant vers zéro :

        = 0 .

        tableau :

        x --> 0        1      2      3       10      100      +∞

    H(x) --> 0      0,3   0,9   1,6     7,6      95       +∞

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