Bonjour, je suis en grande difficulté pour cette exercice de math pourrais-je bénéficier de votre aide merci d’avance

Bonjour,

ABCD est un carré de côté 10cm,M est un point variable du segment [AB] tel que AMPN est un carré de côté x.

Le but du problème est de déterminer s'il est possible de trouver x pour que l'aire grisée soit égale à 36 cm².

1. À quel intervalle doit appartenir x?

Étant donné qu'il est un point variable du segment [AB] est que ce segment mesure 10cm, x doit appartenir à l'intervalle [0 ; 10].

2. On note f(x) l'aire en cm² de la partie grise. Démontrer que pour tout x de l'intervalle [0 ; 10] : f(x) = -x² + 5x + 50.

Pour connaître l'aire de la partie grisée, tu effectues le calcul suivant:

A(ABCD) = A(grisée) + A(blanche)

>> A(grisée) = A(ABCD) - A(blanche)

À partir des infos dont on dispose, calculons l'Aire totale et l'Aire blanche:

A(ABCD) = 10* 10= 100

A(blanche) = A(AMPN) + A(BCP)

A(blanche) = x*x + [10 * (10 - x)]/2

A(blanche) = x² + (100 - 10x)/2

A(blanche) = x² + 50 - 5x

A(blanche) = x² - 5x + 50

Comme je te l'ai dit juste avant, pour trouver l'Aire grisée, on soustrait l'Aire blanche à l'Aire totale

A(grisée) = A(ABCD) - A(blanche)

f(x) = A(ABCD) - A(blanche)

f(x) = 100 - (x² - 5x + 50)

f(x) = 100 - x² + 5x - 50

f(x) = -x² + 5x + 100 - 50

f(x) = -x² + 5x + 50

✅ Et là, la démonstration est terminée.

3. Expliquer pourquoi résoudre le problème posé revient à résoudre l'équation -x² + 5x + 14 = 0 avec x ∈ [0 ; 10]

En fait, tu cherches la chose suivante:

A(grisée) = 36

f(x) = 36

-x² + 5x + 50 = 36

-x² + 5x + 50 - 36 = 36 - 36

-x² + 5x + 14 = 0

✅

4. Développer le produit (x + 2)(-x + 7). Que constate-t-on?

(x + 2)(-x + 7)

= x*(-x) + x*7 + 2*(-x) + 2*7

= -x² + 7x - 2x + 14

= -x² + 5x + 14

On constate que le produit donné correspond à l'aire grisée. (Puisqu'une fois développée, l'expression de ce produit est identique à ce qu'on a calculé précédemment).

✅

5. En déduire les solutions de l'équation : -x² + 5x + 14 = 0 avec x ∈ [0 ; 10]:

-x² + 5x + 14 = 0 avec x ∈ [0 ; 10]

>> (x + 2)(-x + 7) = 0 avec x ∈ [0 ; 10]

Équation produit nul : Un produit est nul si et seulement si au moins un de se sfacteurs est nul.

>> Soit x + 2 = 0

x = -2

>> Soit -x + 7 = 0

-x = -7

x = 7

>> Sauf que, on a dit tout à l'heure que x ∈ [0 ; 10]

>>>> -2 est rejeté

S={ 7 }

Si on ne t'avait pas donné la forme factorisée, tu calcules le discrimant ∆ et tu trouves les solutions. (Normalement, tu vois ça en première).

f(x) = -x² + 5x + 14 = 0

• a = -1
• b = 5
• c = 14

∆ = b² - 4ac

∆ = 5² - 4*(-1)*14

∆ = 25 - (-4 * 14)

∆ = 25 - (-56)

∆ = 25 + 56

∆ = 81

∆ = 81 > 0 ; L'équation admet deux solutions réelles distinctes:

x1 = (-b - √∆)/2a = (-5 - 9)/(-2) = -14/(-2) = 7

x2 = (-b + √∆)/2a = (-5 + 9)/(-2) = 4/(-2) = -2

>> Encore une fois, puisque x ∈ [0 ; 10], -2 est rejeté.

S={ 7 }

>> Si tu n'as pas encore vu la résolution d'une équation du second degré, pas la peine de t'embrouiller avec ça ;)

5. Conclure au problème:

Pour que l'Aire de la partie grisée soit égale à 36cm², x doit valoir 7cm.

✅

* = multiplication

Bonne journée.