Bonjour, j'ai cet exercice à faire en maths, serait il possible de m'aider svp je n'y arrive pas . En 2021. une entreprise compte produire au maximum 60 000 tél

Bonsoir,

C(x) = 0,01x² + 250x + 2 500 000

R(x) = 800x

1)

a) Calculer C(7500) et interpréter le résultat :

C(7500) = 0,01 * 7500² + 250*7500 + 2500000

= 0,01 * 56250000 + 187500 + 2500000

= 562 000 + 187500 + 2500000

= 4 937 500

La production de 7 500 téléphones coûte 4 937 500€.

b) Calculer le montant de la recette que rapporte la vente de 7500 téléphones:

R(7500) = 800 * 7500

= 6 000 000

La vente de 7500 téléphones rapporte 6 000 000€.

c) En déduire le montant du bénéfice pour 7500 téléphones vendus:

Le bénéfice c'est Recette - coût de production donc:

6 000 000 - 4 937 500 = 1 062 500

Le bénéfice est de 1 062 500€.

2.

a) Justifier que, pour tout x ∈ [0 ; 60 000], le bénéfice, en euros, est défini par : B(x) = -0,01x² + 550 - 2 500 000 où x représente le nombre de téléphone fabriqués et vendus:

Comme je viens de te le dire, le bénéfice, c'est :

Recette - coût de production

B(x) = R(x) - C(x)

B(x) = 800x - (0,01x² + 250x + 2500000)

B(x) = 800x - 0,01x² - 250x - 2500000

B(x) = -0,01x² + 550x - 2 500 000

✅

b) Montrer que B(x) = -0,01(x - 50 000)(x - 5000):

>>> Développons l'expression qu'on nous donne pour y voir plus clair:

Je vais assez rapidement ; j'estime qu'en première, on sait développer une expression de ce genre. (Si ce n'est pas le cas, n'hésite pas à demander plus d'infos).

B(x) = -0,01(x - 50000)(x - 5000)

B(x) = -0,01(x² - 5000x - 50000x + 250000000)

B(x) = -0,01(x² - 55000x + 250 000 000)

B(x) = -0,01x² + 550x - 2 500 000

>>> En effet, c'est la même expression ✅

3)

a) Donner le tableau de signe de B sur [0 ; 60 000]:

B étant une fonction du second degré, on résout l'équation.

B(x) = -0,01x² + 550x - 2 500 000

∆ = b² - 4ac

∆ = 550² - 4*(-0,01)*(-2500000)

∆ = 302 500 - 100 000

∆ = 202 500

∆ = 202 500 > 0 ; l'équation admet deux solutions réelles distinctes :

x1 = (-b - √∆)/2a = (-550 - 450)/(-0,02) = -1000/(-0,02) = 50 000

x2 = (-b + √∆)/2a = (-550 + 450)/(-0,02) = -100/(-0,02) = 5 000

S={ 5 000 ; 50 000 }

>> Maintenant que nous avons nos deux racines, remplissons notre tableau de signe :

x | 0 5000 50 000 60 000

-------------------------------------------------------------

B(x) | - 0 + 0 -

b) À l'aide de la réponse à la question précédente, déterminer les quantités de téléphone à produire permettant d'obtenir un résultat positif :

Cela revient à résoudre l'inéquation suivante :

B(x) > 0

-0,01x² + 550x - 2 500 000 > 0

>>> On se sert du tableau:

S= ] 5 000 ; 50 000 [

(0 n'a pas de signe mais dans la consigne, on peut imaginer qu'on demande un bénéfice strictement positif ; les valeurs qui annulent l'expression sont rejetées).

c) Quelle est la quantité de téléphones à produire pour maximiser le bénéfice? On précisera la valeur de ce résultat maximal en euro.

On cherche donc le maximum de la fonction; on calcule la dérivée de celle-ci.

B(x) = -0,01x² + 550x - 2 500 000

B'(x) = -0,02x + 550

On résout B'(x) = 0 pour pouvoir dresser un tableau de variation.

B'(x) = 0

-0,02x + 550 = 0

-0,02x = -550

0,02x = 550

x = 27 500

x | 0 27 500 60 000

--------------------------------------------------------------

B'(x) | + 0 -

--------------------------------------------------------------

| 5 062 500

B | ↗ ↘

| - 2 500 000 - 5 500 000

>> Pour obtenir les valeurs du tableau :

B(0) = 0,01 * 0² + 550 * 0 - 2 500 000

= 0 + 0 - 2 500 000

= - 2 500 000

B(27 500) = -0,01 * 27 500² + 550 * 27 500 - 2 500 000

= -7 562 500 + 15 125 000 - 2 500 000

= 5 062 500

B(60 000) = -0,01 * 60 000² + 550 * 60 000 - 2 500 000

= -36 000 000 + 33 000 000 - 2 500 000

= - 5 500 500

>> Bref, pour en revenir à la question, la fonction atteint un maximum au point d'abscisse 27 500 égal à 5 062 500.

>>>>>> Pour maximiser le bénéfice, Il faut vendre et produire 27 500 téléphones. Le bénéfice sera de 5 062 500€.

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Voilà, j'espère que tout est correct (en théorie oui).

+ Je t'ai ajouté les tableaux en PJ pour être sûr que tu puisses les avoir.

* = multiplication

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Bonne soirée.