Bonsoir j’ai cet exercice en maths à rendre d’ici peu. Je suis en 1 ère et peine parfois à tout comprendre. Pouvez vous m’aider svp? Merci d’avance!

Réponse :

l' Aire mini des 2 triangles sera donc

               obtenue pour xM = 4(√2 - 1)

Explications étape par étape :

■ croquis au brouillon à refaire au propre :

               H       M

   A x       x        x              x B    

                x I

  D x         x                      x C  

                G

■ il est évident que 0 ≤ x ≤ 4 cm .  

■ Thalès dit :

   ID/IM = IG/IH = IC/IA = DG/MH = DC/MA = GC/HA

    or   MA = x   ;    IH = h  ;   DC = 4   ;   IG = 4-h   donc :

               (4-h)/h = 4/x    

    on a bien h/(4-h) = x/4 .

    d' où 4h = 4x - hx

        (4+x)h = 4x

                h = 4x/(x+4) .

    et enfin Aire des 2 triangles = 0,5hx + 2(4-h)

                                                    = 2x²/(x+4) + 8 - 2h

                                                    = 2x²/(x+4) + 8 - 8x/(x+4)

                                                    = 2x² - 8x + 8x + 32 /(x+4)

                                                    = 2(x²+16)/(x+4) .

■ dérivée :

  f ' (x) = [ (x+4) (4x) - 2(x²+16) ] / (x+4)²

            = [ 4x² + 16x - 2x² - 32 ] / (x+4)²

            = (2x² + 16x - 32) / (x+4)²

            = 2(x² + 8x - 16) / (x+4)² .  

   cette dérivée est nulle pour x ≈ 1,657 cm .

■ tableau-résumé :

     x --> 0                  1,657                               4 cm

f ' (x) -->           -             0               +

  f(x) --> 8                6,6274                             8 cm²

■ conclusion :

   l' Aire mini des 2 triangles sera donc obtenue

                                 pour xM voisin de 1,657 cm .

■ calcul précis de xM :

  x² + 8x - 16 = 0 donne Δ = 8² + 4*16 = 128 = (8√2)²

                           donc xM = 0,5*8(√2 - 1)

                                          = 4(√2 - 1) .