Bonjour, j'ai un DM a faire et je n'ai rien capté (dans aucun des exos) Voici j'énnoncé : Question 1 : Le plan est muni d’un repère orthonormé. P est la parabol
Question
Question 1 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé.
P est la parabole d’équation y=[tex]x^{2}[/tex]+4. H est l’hyperbole d’équation y=8/x.
1. Démontrer que P et H ont un seul point d’intersection si et seulement si l’équation (E) [tex]x^{3}[/tex] + 4x − 8=0 admet une unique solution.
2. f est la fonction définie sur R par f(x)=[tex]x^{3}[/tex] + 4x − 8. Étudier les variations de f sur R puis dresser son tableau de variations. Conjecturer le nombre de solutions à l’équation f(x)=0 sur [1;2].
Question 2 :
Par balayage : on note a la solution de (E).
1. Tracer, à la calculatrice, la courbe représentative de la fonction f.
2. Par lecture graphique, retrouver un encadrement à l’unité de la solution a. Justifier.
3. À l’aide du tableau de valeurs de la calculatrice, donner un encadrement de a d’amplitude [tex]10^{-1}[/tex] puis un encadrement d’amplitude [tex]10^{-2}[/tex].
4. Poursuivre le même procédé, donner un encadrement de a d’amplitude [tex]10^{-3}[/tex].
Merci d'avance (Si possible une explication détailler pour que je comprenne enfin comment faire les calcules)
1 Réponse
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1. Réponse veryjeanpaul
Réponse :
bonsoir
Explications étape par étape :
Si on trace sur un repère orthonormé et par simple calcul mental la parabole y=x²+4 et l'hyperbole y=8/x on voit qu'i n'y a qu'un seul point d'intersection des deux courbes pour un valeur "alpha" avec 1<alpha<2
1)Les abscisses des points d'intersection des deux courbes sont les solutions de l'équation x²+4=8/x avec x différent de 0
soit (x³+4x-8)/x=0
Un quotient est nul si son dividende est nul avec diviseur non nul.
Recherchons les solutions de x³+4x-8=0
Comme il n'y a pas solution évidente étudions la fonction f(x)=x³+4x-8 sur R
limites si x tend vers -oo, f(x) tend vers -oo
si x tend vers +oo, f(x tend vers +oo
Dérivée f'(x)=3x²+4 elle est toujours >0
Donc f(x) est croissante .
f(-oo)=-oo et f(+oo)=+oo Compte tenu de la monotonie et de la continuité de f(x) sur R et d'après le TVI, il existe une et une seule valeur "alpha" telle que f(alpha)=0
2) f(1)=1+4-8=-3 et f(2)=8+8-8=+8
donc 1<alpha<2
3et 4) Avec ta calculatrice resserre l'encadrement de alpha