Soit f la fonction définie sur [-10 ,10] par : f(x) = 10/1+e^-x On note C a courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormal (o ; ; ). On pren
Question
On note C a courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormal (o ; ; ). On prendra comme unité 1 cm sur chaque axe.
1. a) Démontrer que pour tout nombre réel x, f'(x) = 10 e^-x / (1+e^-x)²
b) Etudier les variations de f sur [-10,10]
2. a) Compléter après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs ci-après. On donnera les valeurs approchées de f(x) à 10-1 près.
X 0 1 2 3 4 5
F(x)
b) On admet que le point I de coordonnées (0,5) est centre de symétrie de la courbe C. Construire la courbe C.
3. a) résoudre par le calcul l'équation : f(x) = 9
b) Donner une valeur approchée arrondie à 10-2 de la solution obtenue en a).
c) Placer sur le graphique le point A de la courbe C d'abscisse .
4. on admet que f(x) représente le nombre de millions de foyers équipés d'un bien ménager B, x étant le rang de l'année à partir de 1980. Ainsi f(0) représente le nombre de millions de foyers équipés fin 1980, f(1) représente le nombre de millions de foyers équipés fin 1981, f(-1) représente le nombre de millions de foyers équipés fin 1979…
a) Déterminer quel était le ombre de foyers équipés en 1978.
b) Déterminer en quelle année 9 millions de foyers étaient équipés.
Je remercie d'avance ceux qui s'interesseront à mon problème, je ne cherche pas à ce qu'on me le fasse mais juste des explications!
J'attends avec impatience vos réponses MERCI !
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ BONJOUR !
■ f(x) = 10 / (1 + e^(-x)) sur [ -10 ; +10 ]
■ aucun souci de Domaine de définition :
Df = IR .
■ dérivée f ' (x) :
f ' (x) = 10 e^(-x) / (1 + e^(-x))² facile !
cette dérivée est TOUJOURS positive
donc la fonction f est TOUJO§URS croissante !
■ tableau demandé :
x --> -10 -5 0 1 2 2,2 3 4 5 6 10
f ' (x) -> +
f(x) --> 0 0,07 5 7,3 8,8 9 9,5 9,8 9,93 10 10
■ le centre de symétrie est bien ( 0 ; 5 ) .
■ f(x) = 9 donne :
9 (1 + e^(-x)) = 10
(1 + e^(-x)) = 10/9
e^(-x) = 1/9
-x = Ln(1/9) = - Ln9 = -2 Ln3
x = 2 Ln3 ≈ 2,197
le texte demande l' arrondi au centième, donc x ≈ 2,2o .
■ 1,2 million ( environ ) de foyers équipés en 1978 ;
8,8 millions en 1982 ; 9,5 millions en 1983 .