Bonjour, je suis en spécialité maths et c’est un devoir sur les suites arithmétiques et géométrique, pouvez vous m’aider s’il vous plaît !!

Réponse :

1) déterminer U1 et U2

U1 = 1500 x (1 - 10/100) + 100 = 1450

U2 = 1450 x (1 - 10/100) + 100 = 1405

2) a) montrer que Un+1 = 0.9Un + 100

U1 = U0 x (1 - 10/100) + 100

U2 = U1 x (1 - 10/100) + 100

donc Un+1  = Un x (1 - 10/100) + 100

                   = Un x (1 - 0.1) + 100

                   = 0.9 x Un + 100

b) U1 - U0 = 1450 - 1500 = - 50

    U2 - U1 = 1405 - 1450 = - 45

U1 - U0 ≠ U2 - U1    donc (Un) n'est pas arithmétique

U1/U0 = 1450/1500 ≈ 0.966

U2/U1 = 1405/1450 ≈ 0.968

U1/U0 ≠ U2/U1   donc (Un) n'est pas géométrique

donc la suite (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique

3) on pose Vn = Un - 1000

a) déterminer  V0 ; V1 et V2

V0 = U0 - 1000 = 1500 - 1000 = 500

V1 = U1 - 1000 = 1450 - 1000 = 450

V2 = U2 - 1000 = 1405 - 1000 = 405

b) montrer que pour tout entier naturel n,  Un+1 = 0.9Un

   Vn = Un - 1000   ⇒ Vn+1 = Un+1  - 1000

⇔ Vn+1 = (0.9Un + 100) - 1000

             = 0.9Un - 900

             = 0.9(Un - 900/0.9)

             = 0.9(Un - 1000)

donc  Vn+1 = 0.9Vn

que peut-on en déduire pour Vn

donc (Vn) est une suite géométrique de raison  q = 0.9 et de premier terme V0 = 500

c) en déduire Vn en fonction de n

 on a donc  Vn = V0 x qⁿ = 500 x 0.9ⁿ

d) en déduire Un en fonction de n

    Vn = Un - 1000 ⇒ Un = Vn + 1000

donc  Vn = 1000 + 500 x 0.9ⁿ

4) a) déterminer quel sera l'effectif en 1janvier 2027

n = 2027 - 205 = 22   et  U22 = 1000 + 500 x 0.9²² ≈ 1049

au 1er janvier 2027, l'effectif de l'entreprise sera donc de 1049 employés

b) i) montrer que (Un) est décroissante

on a U0 = 1500 ;  U1 = 1450 ; U2 = 1405  et U22 = 1049

on voit bien que la suite (Un) est décroissante

si l'on considère quel sera l'effectif à long terme

b) Un < 1010  ⇔ 1000 + 500 x 0.9ⁿ < 1010

⇔    0.9ⁿ < 0.02     pour n = 38 ans   soit l'année 2043

Explications étape par étape :