Bonjour! J'espère que vous passez une bonne soirée! J'ai un devoir maison a rendre dans une semaine, et un des problèmes me pose certains maux de tête. Voici l'
Question
Un vase en verre a la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur 16 cm.
Ce vase a une contenance de 900 cm3.
Quelles dimensions doit-on donner à ce vase pour qu'il ait une surface en
verre minimale ?
Ce devoir maison entre dans le chapitre des fonctions dérivées, je suppose donc qu'on est sensés les utiliser, mais je ne sais pas comment. Pourriez-vous m'aider, mais plutôt me donner la méthode de résolution plutôt que la réponse?
Merci d'avance.
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ Volume = 900 cm³ et hauteur = 16 cm :
donc Base = 900/16 = 56,25 cm²
d' où côté de la Base carrée = √56,25
= 7,5 cm .
■ Surface de verre MINI :
fond + 4 faces latérales rectangulaires
= 56,25 cm² + 4*7,5*16 = 536,25 cm² .
■ remarque :
si le vase était cylindrique :
Rayon² = 56,25/π ≈ 17,905 cm²
d' où Rayon ≈ 4,231 cm
d' où Aire mini = 56,25 + 2*π*R*h
= 56,25 + 2*π*4,231*16
≈ 481,6 cm² .
■ supposons une Base rectangulaire :
on doit alors résoudre :
L x largeur = 56,25 avec Aire = 56,25 + 2(L+largeur)*16
= 56,25 + 32(L+largeur)
tableau des essais :
largeur --> 1 2 3 4 5 6 7 7,5 cm
Longueur -> 56,25 28,1 18,8 14,1 11,3 9,4 8,o4 7,5 cm
Aire --> 1888 1o19 754 635 578 549 538 536,25 cm³
on remarque : Aire = 56,25 + 32(L + 56,25/L)
d' où la dérivée A ' = 32 - 1800/L²
cette dérivée est nulle pour L² = 1800/32 = 56,25
conclusion : l' Aire est bien mini pour L = 7,5 cm
ce qui renvoie bien à la Base carrée ! ☺