Bonjour pouvez vous m’aidez à résoudre cet exercice sur les suites Merci d’avance

Réponse :

{U0 = 1

{Un+1 = - 1/2)Un + 3

1) calculer U1, U2 et U3

U1 = - 1/2)U0 + 3 = - 1/2 + 3 = 5/2

U2 = - 1/2)U1 + 3 = - 1/2)*5/2 + 3 = - 5/4 + 3 = 7/4

U3 = - 1/2)U2 + 3 = - 1/2)*7/4 + 3 = - 7/8 + 3 = 17/8

U1 - U0 = 5/2 - 1 = 3/2

U2 - U1 = 7/4 - 5/2 = - 3/4

U1 - U0 ≠ U2 - U1  ⇒ (Un)  n'est pas une suite arithmétique

U1/U0 = 5/2

U2/U1 = 7/4/5/2 = 7/10

U1/U0 ≠ U2/U1   donc  (Un) n'est pas une suite géométrique

2) on pose  Vn = Un  - 2. Démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison - 1/2

  Vn+1 = Un+1  - 2

           = - 1/2)Un + 3 - 2

           = - 1/2)Un  + 1

           = - 1/2(Un - 2)

     Vn+1 = - 1/2)Vn    CQFD

donc  (Vn) est une suite géométrique de raison - 1/2

3) en déduire l'expression de Vn en fonction de n puis celle de Un en fonction de n

Vn = V0 x qⁿ = - 1 x (- 1/2)ⁿ

Vn = Un - 2  ⇔ Un = Vn  + 2   ⇔ Un = - 1 x (- 1/2)ⁿ  + 2

Explications étape par étape :