Leçon limte de fonctions pouvais m'aidez svp , pour que je le puisse le réviser merci de votre réponse

Réponse :

Explications étape par étape :

1. Limite aux bornes

La limite en [tex]2^+[/tex] est assez facile... on s'intéresse principalement au quotient [tex]-\frac{2}{x-2}[/tex] dont la limite tend vers -∞ quand x tend vers [tex]2^+[/tex] on en déduit donc que [tex]\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty[/tex]

Pour la seconde borne (+∞), quand on a un quotient il est souvent interessant de travailler de la manière suivante:

D'abord on exprime f(x) sous forme de fraction unique

[tex]f(x)=\frac{(x-1)(x-2)-2}{x-2}[/tex]

[tex]f(x)=\frac{x^2-2x-x+2-2}{x-2}[/tex]

[tex]f(x)=\frac{x^2-3x}{x-2}[/tex]

[tex]f(x)=\frac{x(x-3)}{x(1-2/x)} =\frac{x-3}{1-2/x}[/tex]

Quand x tend vers +∞, le dénominateur tend vers 1 et donc f(x) tends vers +∞

[tex]\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty[/tex]

2.a. Dérivée de f

[tex]f'(x)=1+\frac{2}{(x-2)^2}[/tex]

b. Variations de f

On en déduit donc que f' est toujours positive (car un carré est toujours positif) sur l'intervalle étudié et que f est strictement croissante sur cet intervalle.

x     |  2                                 +∞

---------------------------------------------

f'(x)  | |                     +

f(x)   | |   -∞              [tex]\nearrow[/tex]            +∞

Je n'ai pas le temps de finir... mais j'espère que ça va t'aider !