Deux points distincts A et B d'abcsisses respectives a et b appartiennent à la parabole P d'équation : y = x^2. Existe-t-il une tangente à P parallèle à la droi

Si les points A et B appartiennent à la parabole d équation y=x²  ils vérifient son équation

les coordonnées sont sont donc A (a,a²)  B(b,b²)

On peut ensuite écrire l'équation de la droite (AB)

le coefficient directeur est  (b²-a²)/(b-a)=b+a

y= (a+b)x+ constante

pour trouver la constante il suffit de dire que l'équation de AB passe par A

a² =(a+b)a+constante

donc constante =  - ab

la droite (AB) a pour équation y= (a+b)x-ab
Écrivons  l'équation de la tangent à P en un point  x1 / y1

y-y1= (x-x1) dérivée(x1)

(Rappel dérivée de x²=2x)
Y-Y1= 2x1(x-x1)

Y= 2x1*x +2x1*x1+y1

pour que deux droites soient parallèles il faut et il suffit que leur coefficients directeurs soient égaux

2X1= (a+b)

x1= (a+b)/2

il suffit donc de choisir sur P le point d'abscisse (a+b)/2 et d'ordonnée (a+b)²/4

CQFD