Bonjour, j’ai besoins d’aide je n’y arrive pas svp

Réponse :

1) montrer que, pour tout x ∈ R, x² + 2 x + 5 = (x + 1)² + 4  et justifier alors l'ensemble de définition de f

x² + 2 x + 5 = x² + 2 x + 5 + 1 - 1

                   = (x² + 2 x + 1) + 4

                   = (x + 1)² + 4

or pour tout x ;  on a; (x + 1)² + 4 > 0  donc  Df = R    

2) on sait que la courbe C passe par le point A(0 ; 2/5),montrer que b = 1

A(0 ; 2/5) ∈ C  ⇔ f(0) = 2/5  ⇔ 2(0² + a*0 + b)/5 = 2/5

⇔ 2 b/5 = 2/5   ⇔ b = 2 * 5/5*2 = 1   donc  b = 1

3) démontrer que, pour tout x ∈ R ,

f '(x) = ((4 - 2a) x² + 16 x + 10a - 4)/(x² + 2 x + 5)²

f(x) = 2(x² + a x + 1)/(x² + 2 x + 5)

f est une fonction quotient dérivable sur Df ' = R  et sa dérivée f ' est:

 f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²

u(x) = 2 x² + 2a x + 2  ⇒ u'(x) = 4 x + 2a

v(x) = x² + 2 x + 5 ⇒ v'(x) = 2 x + 2

f '(x) = [(4 x + 2a)(x² + 2 x + 5) - (2 x + 2)(2 x² + 2a x + 2)]/(x²+2 x + 5)²

= (4x³+8x²+20x+2ax²+4ax+10a - (4x³+4ax²+4x+4x²+4ax+4))/(x²+2 x + 5)²

=  (4x³+8x²+20x+2ax²+4ax+10a - 4x³-4ax²-4x-4x²-4ax-4))/(x²+2 x + 5)²

= (4x² - 2ax² + 16x + 10a - 4)/(x²+2 x + 5)²            

f '(x) = (4 - 2a)x²+ 16x + 10a - 4)/(x²+2 x + 5)²

4) on sait que la courbe C admet au point d'abscisse - 3 une tangente horizontale, démontrer que a = - 2

  la courbe C admet en - 3 une tangente horizontale  ⇔  f '(- 3) = 0  

f '(- 3) = (4 - 2a)*(-3)²+ 16*(- 3) + 10a - 4)/((-3)²+2* (-3) + 5)² = 0

    ⇔ (36 - 18a - 48 + 10a - 4) = 0   ⇔ - 8a - 16 = 0   ⇔ 8a = - 16

⇔ a = - 16/8 = - 2

5) démontrer que, pour tout x ∈ R,   f '(x) = 8(x + 3)(x - 1)/(x²+2x +5)²  

f '(x) = (4 - 2a)x²+ 16x + 10a - 4)/(x²+2 x + 5)²

       =(4 - 2*(-2))x² + 16x + 10*(- 2) - 4)/(x²+2 x + 5)²

       = (8 x² + 16 x - 24)/(x²+2 x + 5)²

       = 8(x² + 2 x - 3)/(x²+2 x + 5)²

       = 8(x² + 2 x - 3 + 1 - 1)/(x²+2 x + 5)²  

       = 8(x² + 2 x + 1 - 4)/(x²+2 x + 5)²

       = 8((x + 1)²- 4)/(x²+2 x + 5)²

       = 8(x + 1 + 2)(x+1-2)/(x²+2 x + 5)²

      = 8(x + 3)(x - 1)/(x²+2 x + 5)²  

6) f '(x) = 8(x + 3)(x - 1)/(x²+2 x + 5)²   or   x² + 2 x + 5  > 0

donc le signe de f '(x) dépend du signe de (x + 3)(x - 1)

          x     - ∞                      - 3                          1                              + ∞

       f '(x)                   +           0            -             0                +

variation   2 →→→→→→→→→→→ f(-3)→→→→→→→→→→f(1)→→→→→→→→→→→2

de f(x)             croissante              décroissante      croissante              

Explications étape par étape :