Bonsoir j’ai besoin d’aide svp On Considère la figure ci-dessous grisé et on note son air A

Bonsoir,

Déterminer la ou les valeurs de x afin que l'aire A ait pour valeur 7cm²:

Ce qu'on sait:

A(Totale) = A(blanche) + A(grisée)

A(AEFG) = A(blanche) + A(grisée)

A(grisée) = A(AEFG) - A(blanche)

>> Éclaircissons un petit peu.

• Calcul de l'Aire totale:

AEFG est un carré de côté 4cm.

A(carré) = Côté ²

A(AEFG) = 4² = 16

Ça, c'était le plus facile, voilà que ça se corse un peu.

• Calcul de l'aire blanche:

A(blanche) = A(CDGH) + A(BCIE)

- A(CDGH) = 2x(4 - x)

= 8x - 2x²

= -2x² + 8x

- A(BCIE) = x(4 - 2x)

= 4x - 2x²

= -2x² + 4x

A(blanche) = -2x² + 8x + (-2x² + 4x)

= -2x² + 8x - 2x² + 4x

= -4x² + 12x

• Calcul de l'aire grisée :

A(grisée) = A(totale) - A(blanche)

A(grisée) = A(AEFG) - A(blanche)

A(grisée) = 16 - (-4x² + 12x)

A(grisée) = 16 + 4x² - 12x

A(grisée) = 4x² - 12x + 16

• Résolution du problème

A(grisée) = 7

4x² - 12x + 16 = 7

4x² - 12x + 9 = 0

>> Nous avons une équation du second degré donc de la forme ax² + bx + c avec:

a = 4

b = -12

c = 9

>> Calcul du discriminant

∆ = b² - 4ac

∆ = (-12)² - 4*4*9

∆ = 144 - 144

∆ = 0

∆ = 0 ; l'équation admet une solution double (voir explication à la fin):

x0 = -b / 2a = 12/8 = 3/2 = 1,5

S={ 1,5 }

L'aire A (Aire grisée) a pour valeur 7cm² lorsque x = 1,5.

Vérifions:

A(Grisée) = A(ABCD) + A(CIFH)

A(ABCD) = 2x * x

= 2x²

A(CIFH) = (4 - 2x)(4 - x)

= 16 - 4x - 8x + 2x²

= 2x² - 12x + 16

A(grisée) = 2x² + (2x² -12x + 16)

= 2x² + 2x² - 12x + 16

= 4x² - 12x + 16

>> On remplace x par 1,5:

4*1,5² - 12*1,5 + 16

= 4* 2,25 - 18 + 16

= 9 - 2

= 7

✅

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Quand le discrimant est nul, on dit que l'équation admet une solution double. Il y a en vérité une seule solution et voici pourquoi:

Quand le discrimant (∆) est supérieur à 0, on a deux solutions réelles distinctes :

x1 = (-b - √∆) / 2a

x2 = (-b + √∆) / 2a

Quand le discrimant est égal à zéro, l'équation admet une solution double:

x0 = -b/2a

>> Pourquoi?

Tout simplement parce qu'on aurait la chose suivante :

x1 = (-b - √∆)/2a = (-b - √0)/2a = (-b - 0)/2a

= -b/2a

x2 = (-b + √∆)/2a = (-b + √0)/2a = (-b + 0)/2a

= -b/2a

>> x1 = x2

>> On note cette solution double x0

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* = multiplication

Bonne soirée.