Étude d'une fonction Partie A. Étude d'une fonction auxiliaire Bonsoir, Soit g la fonction définie sur ] 0 ; +inf [ par: g(x) = x+2-x ln (x). 1. Étudier les lim

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape :

Partie A  : g(x)=x+2-x lnx  sur ]0; +oo[

1Limites

si x tend vers 0+,  x lnx tend vers 0  donc g(x) tend vers 2.

si x tend vers +oo ,le terme 2 est négligeable donc g(x)=x(1-lnx)  et g(x) tend vers (+oo)*(-oo)=-oo

2)  Dérivée g'(x)=1-lnx-x*(1/x)=-lnx

g'(x)=0 pour x=1

Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x      0                         1                                 +oo

g'(x) II             +          0                   -

g(x) II +2       croît       3            décroît            -oo

3)Sur ]0; +1[ g(x) est toujours >0

Sur l'intervalle [+1;+oo[,  g(x) est continue   et monotone g(1)>0 et g(+oo)<0

D'après le TVI g(x)=0 admet une et une seule  solution "alpha".

g(4)=0,45  et g(4,5)=-012  donc 4<alpha<4,5

g(x)>0 sur ]0; alpha[ et g(x)<0 sur ]alpha;+oo[  

Partie B  f(x)=(ln x)/(2+x)  sur ]0; +oo[

1) Dérivée: f'(x)=[(1/x)(2+x)-lnx]/(2+x)²=(2+x-xlnx)/x*(2+x)²=g(x)/x*(2+x)²

2) Pour l'écriture , je remplace "alpha" par "a"

on a:  g(a)=a+2-a lna or je sais que g(a)=0

ce qui donne a lna=a+2   ou lna=(a+2)/a

je reporte ceci dans la fonction f

f(a)= [(a+2)/a]/(a+2)=1/a  donc f(a)=1/a

3) limites

si x tend vers 0, f(x) tend vers -oo/2=-oo

si x tend vers +oo, f(x) tend vers +oo/+oo (FI) ,mais d'après le th. des croissances comparées f(x) tend vers 0+

4) Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x      0                           alpha                                    +oo

f'(x)II           +                     0                    -                     (même signe que g(x))

f(x)II -oo      croît           1/alpha           décroît            0+

5) alpha est de l'ordre de 4,3 vois plus de précision avec ta calculette.