Bonjour, je n’arrive pas à résoudre cet exercice, pouvez-vous m’aider ?

Réponse :

f(x) = (- x² + 4 x - 7)/(x - 1)   définie  sur  Df = ]- ∞ ; 1[U]1 ; + ∞[

1) Montrer que, pour tout  x ∈ Df ,   f (x) = - x + 3  - 4/(x - 1)

f(x) = (- x² + 4 x - 7)/(x - 1)

      = ( - x² + x + 3 x  - 3 - 4)/(x - 1)

      = ( - x(x - 1) + 3(x - 1) - 4)/(x - 1)

      = (- x(x - 1) + 3(x - 1))/(x - 1)  - 4/(x - 1)

      = (x - 1)(- x + 3)/(x - 1)  - 4/(x - 1)

   f(x) = - x + 3  -  4/(x - 1)    

2) (Δ) est la droite d'équation  y = - x + 3. Etudier la position relative de Cf et  (Δ)

il faut étudier le signe de f(x) - y

f(x) - y = - x + 3 - 4/(x - 1) - (- x + 3) = - 4/(x - 1)

           x              - ∞                           1                            + ∞

         - 4                                -            ||               -

        x - 1                               -            ||               +

     f(x) - y                               +           ||               -

position relative      Cf est au-dessus       Cf est en dessous

de C f et (Δ)                 de (Δ)                            de (Δ)

3) Montrer que, pour tout x ∈ Df ,   f '(x) = - (x + 1)(x - 3)/(x - 1)²

    f(x) = - x + 3  - 4/(x - 1)

f est une fonction quotient dérivable sur Df  et sa dérivée est f '

f '(x) = - 1 + 4/(x - 1)²

       = (- (x - 1)² + 4)/(x - 1)²

       = - ((x - 1)² - 4)/(x - 1)²

       = - (x - 1 + 2)(x - 1 - 2)/(x - 1)²

f '(x) = - (x + 1)(x - 3)/(x - 1)²        

4) étudier le signe de f '(x) en fonction de  x ∈ Df

    puis dresser le tableau de variations de f sur Df

f '(x) = - (x + 1)(x - 3)/(x - 1)²         (x - 1)² > 0

donc le signe de f '(x) dépend du signe de - (x + 1)(x - 3)

      x     - ∞                           - 1                            3                      + ∞            

   f '(x)                     -               0              +            0            -

tableau de variations

       x   - ∞                      - 1                       1                     3                    + ∞                    

    f(x)   + ∞ →→→→→→→→→   6 →→→→→→→+∞ ||-∞→→→→→→  - 2→→→→→→→→ - ∞

                décroissante        croissante      croissante      décroissante

5) déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 2

        y = f(2) + f '(2)(x - 2)

f(2) = - 2+3 - 4/(2- 1)  = - 3

f '(2) = - (2 + 1)(2 - 3)/(2-1)² = 3

y = - 3 + 3(x - 2)  = 3 x - 9

6) peut-on trouver une tangente à Cf de coefficient directeur égal à - 1 ?

Justifier

 f '(x) = - 1  ⇔ - (x + 1)(x - 3)/(x - 1)² = - 1  ⇔ - (x+1)(x - 3) + (x - 1)² = 0

⇔ - (x² - 2 x - 3) + x² - 2 x + 1 = 0  ⇔ - x² + 2 x + 3 + x² - 2 x + 1 = 0    

or 4 ≠ 0  donc on ne pas trouver une tangente à Cf de coefficient directeur - 1

Explications étape par étape :