Mathématiques

Question

J’aurais besoins d’aide pour l’exercice 2 avec
Un+1 = Un/3Un+1
U0 = 4
Un ≠ 0
Vn = 1/Un
Je suis arrivé au 1) 2)
Pour le 3) Montrer que, pour tout entier naturel n , Vn+1 - Vn = 3.
J’ai trouver,
Vn+1 = 1/Un+1 <=> 1/(Un/3Un+1) = 1 x 3Un+1/Un = 3Un+1/Un
Ensuite j’ai pu faire Vn+1 - Vn, ce qui donne
3Un+1/Un - 1/Un = 3Un/Un = 3

Mais pour la suite je ne comprends pas
4) Que peut-on en déduire sur la nature de la suite (Vn) ?
5) Donner l'expression de Vn, en fonction de n , et en déduire l'expression de Un, en fonction de n.
6) Donner la valeur de U50 - (arrondir à 10-3)
Voilà si c’est possible de m’aider ça serait gentil
J’aurais besoins d’aide pour l’exercice 2 avec Un+1 = Un/3Un+1 U0 = 4 Un ≠ 0 Vn = 1/Un Je suis arrivé au 1) 2) Pour le 3) Montrer que, pour tout entier naturel

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1 Réponse

  • Bonjour,

    Voici ce que j'ai trouvé.

    Remarque :

    Prends du recul sur mes réponses car j'ai commencé ce chapitre il n'y a pas longtemps, mais je me débrouille en maths.

    4) On a :

    [tex]v_{n+1}-v_{n}=3[/tex] ⇔ [tex]v_{n+1}=3+v_{n}[/tex]

    Cette suite [tex](v_{n})[/tex] est de la forme [tex]v_{n+1}=v_{n}+r[/tex] avec [tex]r=3[/tex]. Il s'agit donc d'une suite arithmétique de raison [tex]r=3[/tex].

    5) La suite [tex](v_{n})[/tex] a pour formule de récurrence [tex]v_{n+1}=3+v_{n}[/tex].

    Alors, sa formule explicite est de la forme :

    [tex]v_{n}=v_{1}+(n-1)r[/tex]

    Or, [tex]v_{1}=\frac{13}{4}[/tex] (tu as bien trouvé ça ?)

    et [tex]r=3[/tex]

    Donc :

    [tex]v_{n}=\frac{13}{4}+(n-1)3= \frac{13}{4}+3n-3=3n-\frac{13}{4} -\frac{12}{4}=3n-\frac{25}{4}[/tex]

    On a :

    [tex]v_{n}=\frac{1}{u_{n}}[/tex]  

    ⇔ [tex]u_{n}=\frac{1}{v_{n}}[/tex]

    ⇔ [tex]u_{n}=\frac{1}{3n-\frac{25}{4} }[/tex]

    6) [tex]u_{50}=\frac{1}{3\times50-\frac{25}{4} }\approx0.007[/tex]

    En espérant t'avoir aidé.

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