SABCD est une pyramide à base rectangle telle que AB= 8 et AD= 6. Les faces latérales sont des triangles isocèles et l'on connaît AS= 13. On note I le centre du
Mathématiques
Blablabla57950
Question
SABCD est une pyramide à base rectangle telle que AB= 8 et AD= 6.
Les faces latérales sont des triangles isocèles et l'on connaît AS= 13. On note I le centre du rectangle ABCD et O le centre de la sphère circonscrite a la pyramide SABCD. On admettra que O est nécessairement sur la droite (SI).
Le but du problème est de déterminer la position du point O sur le segment [SI] et le rayon de la sphère circonscrite.
a. Calculer les longueurs AI et IS.
b. Représenter le triangle SAC en vraie grandeur et construire le cercle circonscrit a ce triangle.
c. Justifier que le centre de la sphère circonscrite a la pyramide SABCD est le centre du cercle circonscrit au triangle SAC.
Justifier que cette sphère et ce cercle ont le même rayon.
d. En notant r le rayon de la sphère, montrer que OI^2= ( 12-r)^2= r^2 -5^2
e. En déduire le rayon de la sphère puis la longueur OI.
Les faces latérales sont des triangles isocèles et l'on connaît AS= 13. On note I le centre du rectangle ABCD et O le centre de la sphère circonscrite a la pyramide SABCD. On admettra que O est nécessairement sur la droite (SI).
Le but du problème est de déterminer la position du point O sur le segment [SI] et le rayon de la sphère circonscrite.
a. Calculer les longueurs AI et IS.
b. Représenter le triangle SAC en vraie grandeur et construire le cercle circonscrit a ce triangle.
c. Justifier que le centre de la sphère circonscrite a la pyramide SABCD est le centre du cercle circonscrit au triangle SAC.
Justifier que cette sphère et ce cercle ont le même rayon.
d. En notant r le rayon de la sphère, montrer que OI^2= ( 12-r)^2= r^2 -5^2
e. En déduire le rayon de la sphère puis la longueur OI.
1 Réponse
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1. Réponse overjay
a- AI est la demi diagonale du rectangle ABCD , par pythagore , on trouve AC = 10 et donc AI = 5.
IS est un côté du triangle AIS rectangle en Idonc IS² = AS²-AI² d'où IS²= 13²-5² = 169-25 = 144 d'où IS = 12
b- SAC est un triangle isocele, AC = 10 SA= 13, et par symétrie SC = 13 (on suppose que la pyramide est régulière, donc symétrique)le cercle circonscrit au triangle se construit avec un compas
-1- on choisit un écartement du compas legerement supérieur au maximum de SA et SC
-2- On pointe le compas en S et on trace l'intersection avec la droite AB : on appelle B' le point proche de B et A' le point proche de A
- 3- en gardant le même écartement, on pointe le compas en A et on trace un arc de cercle du côté de la droite AB on il n'y a pas S(mais si on fait le cercle entier, il doit passer par S)
- 4- on réalise la même opération en pointant le compas en B. (idem on doit passer par S et sous la droite AB)
- 5- on appelle S' le point d'intersection des 2 arc de cerles
- 6- Avec la règle on trace la droite SS', elle est orthogonale à AB et elle passe par S, c'est donc la hauteur en S du triangle SAC.
En reproduisant ceci sur les 2 autres hauteur, on trouve le centre de concurrence des hauteurs (càd le centre du cercle circonscrit au triangle)
c-on prend une coupe (par le plan SAC) de la pyramide et de sa sphère circonscrite et on obtient d'une part le triangle SAC et d'autre part le cercle circonscrit au triangle.
On sait que la droite SI appartient au plan SAC (car S appartient et I milieu de AC aussi) et donc le point O (de SI) aussi et donc on a coupé la sphère par son centre, le rayon du cercle et de la sphère sont donc identiques.
d- soit R le rayon du cercle en question
en regardant le segment SI = SO + OI on a 12 = R + OI
d'où OI = (12 - R)²
par ailleur en applicant pythagore au triangle AOI , rectangle en A donc :
AO² = AI² + OI²
soit R² = 5² + OI² soit encore OI² = R² - 5²
On a donc :
OI² = (12-R)² = R²-5²
e- on va résoudre l'équation (12-R)² = R² - 5²
soit 144-24R + R² = R² -25
d'où
24R = 169
R = 169/24 = 7.04166666