Bonsoir pouvez vous m'aidez Exercice 5 Carré Soit n > 0 un nombre entier. On pose Z = (3n + 1)2 + 16n 2 − 26n + 3. 1. Calculer Z pour n = 1 et n = 2. Que remarq

bonjour

Soit n > 0 un nombre entier. On pose Z = (3n + 1)² + 16n² − 26n + 3.

1. Calculer Z pour n = 1 et n = 2. Que remarque-t-on ?

 • n = 1       Z = (3x1 + 1)² + 16x1²- 26x1 + 3

                     = 4² + 16 - 26 + 3

                     = 16 + 16 + 3 - 26

                     = 9

• n = 2         Z = (3 x 2 + 1)² + 16 x 2² - 26 x 2 +3

                      = 7² + 16 x 4 - 52 + 3

                      = 49 + 64 - 52 + 3

                      = 64

on remarque que ces nombres sont des carrés

2. Développer puis réduire Z.

                Z = (3n + 1)² + 16n² − 26n + 3.

                   = (3n)² + 2 x 3n x 1 + 1²  + 16n² - 26n + 3

                  = 9n² + 6n + 1 + 16n² - 26n + 3

                  = 25 n² - 20n + 4

3. Montrer que Z est le carré d’un nombre entier.

            25n² - 20n + 4 = (5n)² - 2 x 5n x 2 + 2² = (5n - 2)²

                    Z = (5n - 2)²

 (n est un entier, 5n - 2 est un entier.)

4. En déduire que √Z + 2 est un multiple de 5.

                 √Z = √[(5n - 2)²] = |5n - 2|

par hypothèse n est un entier > 0   :    n ≥ 1

                                                 d'où     5n ≥ 5

                                                              5n - 2 ≥ 5 - 2

                                                              5n - 2 ≥ 3

on en déduit que 5n - 2 > 0  et   |5n - 2| = 5n - 2

                       √Z + 2 = 5n - 2 + 2 = 5n

                         5n est multiple de 5  

5. Pour quelle valeur de n a-t-on Z = 9604 ?  

   (5n - 2)² = 9604

   (5n - 2)² = 98²

   (5n - 2)² - 98² = 0             différence de 2 carrés, on factorise

   (5n - 2 - 98)(5n - 2 + 98) = 0

   (5n - 100)(5n + 96) = 0               équation produit nul

 <=>  

   (5n - 100) = 0   ou   (5n + 96) = 0

     n = 100/5        ou      n = -96/5

    n = 20                    la solution négative est à éliminer

    réponse : 20