bonjour pouvez vous m'aider svp recherche déterminer les variations de la fonction racine carrée, notée R, sur son ensemble de définition. 1) rappeler l'ensembl
Mathématiques
m00777179
Question
bonjour pouvez vous m'aider svp
recherche déterminer les variations de la fonction racine carrée, notée R, sur son ensemble de définition.
1) rappeler l'ensemble de définition de la fonction R
2) on considère deux réels a et b tel que:
[tex]o \leqslant a < b[/tex]
on cherche à comparer R(a) et R(b)
a) démontrer que:
[tex]r(b) - r(a) = \frac{b - a }{ \sqrt{b} + \sqrt{a} } [/tex]
b) étudier alors le signe de cette différence
c) en déduire une comparaison entre :
[tex] \sqrt{a} \: et \: \sqrt{b} [/tex]
et conclure
Merci de m'aider au plus vite svp
recherche déterminer les variations de la fonction racine carrée, notée R, sur son ensemble de définition.
1) rappeler l'ensemble de définition de la fonction R
2) on considère deux réels a et b tel que:
[tex]o \leqslant a < b[/tex]
on cherche à comparer R(a) et R(b)
a) démontrer que:
[tex]r(b) - r(a) = \frac{b - a }{ \sqrt{b} + \sqrt{a} } [/tex]
b) étudier alors le signe de cette différence
c) en déduire une comparaison entre :
[tex] \sqrt{a} \: et \: \sqrt{b} [/tex]
et conclure
Merci de m'aider au plus vite svp
1 Réponse
-
1. Réponse Bernie76
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
La fct racine carrée est définie sur [0;+∞[
2)
a)
Soient :
0 ≤ a < b
r(b)=√b et r(a)=√a
Donc :
r(b)-r(a)=√b-√a
On va multiplier le membre de droite par :
(√b+√a) / (√b+√a) qui vaut 1 donc ne change pas la valeur du membre de droite.
r(b)-r(a)=(√b-√a)[(√b+√a) / (√b+√a)]
Mais au numérateur on a une identité remarquable :
(√b-√a)(√b+√a) =(√b)²-(√a)²=b-a
Donc :
r(b)-r(a)=(b-a) / (√b+√a)
b)
Le dénominateur (√b+√a) est positif donc :
r(b)-r(a) est du signe de (b-a).
Comme a < b , alors (b-a) > 0.
Donc :
r(b)-r(a) > 0.
c)
Donc :
√b > √a.
Sur [0;+∞[ , on est parti de b > a pour arriver à √b > √a, ce qui prouve que la fct racine carrée est croissante sur son intervalle de définition.