Bonsoir, j’ai cet exercice à rendre d’ici peu en mathématiques. Je suis en 1ère et je peine à tout comprendre. Pouvez vous m’aider si le temps et la motivation

Réponse :

Explications étape par étape :

■ f(x) = x³ - 2x² - 4x + 5 = (x - 1) (x² - x - 5)

■ taux de variation :

   [ f(x+h) - f(x) ] / (x+h - x)    

   = [ 3hx²+3xh²+h³ - 4hx - 2h²  - 4h ] / h

   = 3x² + 3xh + h² - 4x - 2h - 4

   = 3x² - 4x - 4  + h² + 3xh - 2h .

   d' où Limite (taux) pour h tendant vers zéro :

       Lim = 3x² - 4x - 4 .

■ dérivée :

   f ' (x) = 3x² - 4x - 4 = (x - 2) (3x + 2)

   cette dérivée est nulle pour x = -2/3   OU   x = 2 .

■ tableau :

     x --> -∞      -1,8      -1      -2/3      0      1      2      2,8      +∞

f ' (x) -->                   +             0            -          0             +

  f(x) --> -∞        0        6     6,48     5      0     -3      0       +∞  

-1,8 ; 6,48 ; et 2,8 sont des réponses arrondies !

■ tangente en E (xE = -1 ; yE = 6) :

   f ' (-1) = -3 * (-1) = 3

   donc l' équation de la Tangente en E est :

   y = 3x + 9 .

■ la Courbe admet des tangentes horizontales

                                     pour x = -2/3   OU   x = 2 .

■ résolution de f(x) = 0 :

  x² - x - 5 = 0 donne Δ = 21 = (√21)² ≈ 4,5825757²

                        d' où les solutions :

                            x1 = 0,5(1-√21) = 0,5 - √5,25 ≈ -1,8

                            x2 = 0,5(1+√21) = 0,5 - √5,25 ≈ 2,8

  donc Sol = { 0,5 - √5,25 ; +1 ; 0,5 + √5,25 } .

■ remarque :

   le point S ( 2/3 ; 1,74 ) est centre de Symétrie ! ☺