Mathématiques

Question

bonjour je suis en première spé maths et je n’arrive pas à faire l’exercice suivant (c’est un dm) ;

Sur le cercle trigonométrique C ci-contre, M est le point associé
au réel pi/5. La bissectrice de l'angle OMA coupe [0A] en J.

1. Quelle est la mesure en degré de l'angle AOM ? Justifier.

2. Démontrer que les triangles OJM et JMA sont isocèles.

3. Dans le triangle JMA, le point J est le pied de la hauteur issue de M.
-->Démontrer que HA = 1-cos(pi/5) et en déduire que OJ = 2cos(pi/5)= -1.

4. Dans le triangle OJM le point R est le pied de la hauteur issue de J.
On donne OR = 1/2OM (cette égalité est toujours vraie dans un triangle isocèle)
Démontrer que OJ=1/2cos(pi/5).

5. a) Déduire des deux questions précédentes que 4cos^2(pi/5) - 2cos(pi/5) - 1 = 0.
cos(pi/5) est donc une racine d'un polynôme du second degré, lequel ?

b) Donner les deux racines de ce polynôme.

c) Laquelle est la valeur exacte de cos(pi/5). Justifier.
bonjour je suis en première spé maths et je n’arrive pas à faire l’exercice suivant (c’est un dm) ; Sur le cercle trigonométrique C ci-contre, M est le point as

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1 Réponse

  • Bonjour

    1) https://fr.wikipedia.org/wiki/Radian --> Explication sur le radian

      regarde l'animation à droite dans la page.

     PI / 2 = 90°

     PI / 5 = x

    x = ((90° * PI) / 5) / (PI / 2)

    x = ((90° * PI) / 5) * (2 / PI)

    x = 2 * 90° / 5

    x = 180° / 5

    x = 36°

    L'angle A0M = 36°

    2) Le triangle AOM est isocèle car AO = OM. En effet O est le centre du cercle et les points A et M sont sur le cercle. Les angles OMA et MAO sont égaux. On sait d'aprés le 1) que l'angle AOM = PI/5, donc les angles 0MA = A0M = PI -  PI/5 - 2OMA

    5*PI/5 -  PI/5 - 2OMA = 5*PI/5 -  PI/5 - 2OMA

    4*PI/5 = 2OMA  

    4*PI/10 = OMA  

    2*PI/5 = OMA  

    donc OMA   = AOM  = 2*PI/5

    La bissectrice de l'angle OMA coupe [0A] en J et OMJ = OMA/2 donc OMJ = (2*PI/5) /2 = (2*PI/5) /2 = (2*PI/5) * (1/2) = PI / 5

    OMJ = PI / 5 et JMA= PI / 5

    puisque AOM = PI/5, OMJ = PI / 5 et JMA= PI / 5 il en vient que

    que le triangle OJM est isocèle.

    CQFD

    3) Erreur dans l’énoncé, c'est le point H est le pied de la hauteur issue de M.

    OA=1 et OM =1  puisque la norme du rayon du cercle trigonométrique=1

    OH= OM * cos(PI/5)

    OH + HA = OA

    1 * cos(PI/5)  + HA = 1 donc

    HA = 1 - cos(PI/5)

    CQFD

    Dans le 2) on a démontré que JMA est isocèle, mais on sait qu'un triangle JMA isocèle en M possède un axe de symétrie : c’est la médiatrice de [MH] qui coupe [JA] en deux parties égales. Ce qui veut dire que JH = HA

    et HA+ HA = JA

    JA = 2*(1 - cos(PI/5) )

    OJ = OA - JA

    OJ = 1 - ( 2 - 2cos(PI/5) ))

    OJ = 1 - 2 + 2cos(PI/5) )

    OJ = 2cos(PI/5) ) - 1

    CQFD

    Tu as une erreur dans l'énoncé ... en déduire que OJ = 2cos(pi/5)= -1.

    4)

    Le triangle OJM est isocèle d'apres 2). La hauteur JR est aussi la médiane relative à [OM] qui est aussi la médiatrice.   OR = ½*OM

    et OM = 1 donc OR=1/2

    Angle ROJ = cos(PI/5) = OR/OJ

    cos(PI/5) = 1/2/OJ

    cos(PI/5) = 1/(2*OJ)

    cos(PI/5) = 1/(2*OJ)

    2 * OJ * cos(PI/5)  = 1

    OJ = 1 / ( 2 * cos(PI/5))

    CQFD

    5)

    sur les 2 questions précédentes nous avons trouvé 2 solutions pour OJ :

    OJ = 2cos(PI/5)  - 1 et

    OJ = 1 / ( 2cos(PI/5))

    donc :

    2cos(PI/5)  - 1 = 1 / ( 2cos(PI/5))

    2cos(PI/5) * ( 2cos(PI/5)  - 1 ) = 1

    2cos(PI/5) * ( 2cos(PI/5)  - 1 ) = 1

    4cos²(PI/5)  -  2cos(PI/5)  = 1

    4cos²(PI/5)  -  2cos(PI/5)  - 1 = 0

    CQFD

    b)

    Posons un changement de variable X = cos(PI/5), ce qui donne :

    4X²  -  2X  - 1 = 0.  Pour la solution tu appliques la solution d'une équation du second degé par le discrimnant delta.  Je trouve

    S = { (1 - √5)/2, (1 + √5)/2}

    Mais cos(PI/5) est > 0 voir l'abscisse du cercle trigonométrique.

    c)

    Donc la seule solution est S = (1 + √5) / 2

    Le sujet est terminé.

    Bon courage pour étudier la solution.

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