Bonjour, pouvez vous m’aider pour cet exercice s’il vous plaît ? * voir le tableau ci-joint * On part d’un triangle équilatéral de côté 1, puis pour chaque côté
Question
* voir le tableau ci-joint *
On part d’un triangle équilatéral de côté 1, puis pour chaque côté, on effectue la construction suivante :
. diviser le segment en trois parties égales ;
. construire un triangle équilatéral à partir du segment du milieu.
On répète ensuite la construction précédente.
1/ Exprimer la longueur d’un côté de la figure à l’étape n, puis exprimer le nombre de côté à l’étape n.
2/ En déduire une expression du périmètre de la figure à l’étape n.
3/ Calculer le périmètre du flocon à la 10e étape, à la 50e étape, à la 100e étape.
Quel constat peut-on faire ?
1 Réponse
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1. Réponse jpmorin3
bonjour
l'image montre les transformations successives d'un côté du triangle équilatéral
quand on passe du triangle de départ à l'étape 1 chaque côté du triangle se transforme en 4 segments
• départ : 3 côtés
• étape 1 : 3 x 4 = 12 côtés
l'étoile a 12 côtés
quand on passe de l'étape 2 à l'étape 3 chaque côté en donne 4
• étape 2 : 12 x 4 = 48 côtés
à chaque étape le nombre de côtés est multiplié par 4
1)
Si Cn est le nombre de côtés à l'étape n, le nombre de côtés
à l'étape n + 1 est 4 x Cn
Cn+1 = 4 x Cn
on a une suite géométrique de 1er terme 3 et de raison 4
formule : Cn = Co x qⁿ
d'où Cn = 3 x 4ⁿ
2)
chaque côté de l'étape 1 a pour longueur le tiers de la longueur
des côtés du triangle de départ
quand on passe d'une figure à la suivante chaque côté est 1/3 du côté
qui précède
Ln+1 = (1/3)Ln
on a une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 1/3
Ln = 1 x (1/3)ⁿ = 1/3ⁿ
Ln = 1/3ⁿ
3)
périmètre : longueur d'un côté x nombre de côtés
Pn = Cn x Ln
Pn = 3 x 4ⁿ x (1/3ⁿ)
Pn = 3 x (4/3)ⁿ
à l'étape 10 on remplace n par 10 etc.
4/3 > 1
chaque périmètre est égal au périmètre précédent + 1/3
il grandit indéfiniment
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