bonsoir pouvez vous m'aider svp ​

Réponse :

Explications étape par étape :

Partie A :

a. A l'aide du graphique, on constate que est strictement décroissante sur ]0; 2] et strictement croissante sur [2; +∞[. On remarque aussi qu'elle toujours positive sur cet intervalle.

b. f semble atteint son minimum pour x = 2, à cet abscisse, f semble être égale à 0,6

c. L'équation de la tangente T est : y = -x + 2

Note : pour trouver le coefficient directeur, on voit qu'on descend d'une unité de y pour une unité de x. L'ordonnée à l'origine (le point ou x = 0) est

Partie B :

1.a. Dérivée de f

[tex]f'(x) = 1-\frac{2}{x}[/tex]

1.b. Signe de f' sur ]0, +∞[

pour x > 0 :

[tex]1-\frac{2}{x} > 0\\\\\frac{2}{x} < 1\\\\x > 2\\[/tex]

Ce résultat est bien en cohérence avec l'observation graphique

1.c. tableau de variation

x     | 0          2          +∞

----------------------------------

f'(x) |      -       0       +

----------------------------------

f(x)  |    [tex]\searrow[/tex]   0,613      [tex]\nearrow[/tex]      

1.d. Le minimum est atteint en f(2) = 2 - 2ln(2) = 0,6137...

2. Equation de la tangente

La tangente à [tex]C_f[/tex] au point A(1; 1) a pour coefficient directeur [tex]f'(1) = 1 - 2 = -1[/tex]

l'équation de la tangente est donc de la forme y = -x + b

on sait qu'elle passe par A(1; 1) donc 1 = -1 + b    i.e.   b = 2

La tangente a donc pour équation y = -x + 2

3. Oui, ce qui a été observé graphiquement a bien été vérifié par le calcul.